导语：众所周知，凯利公式揭露了信息论与赌博之间的本质联系，简约而不简单。  但是，重点来了！只有正确运用凯利公式，才能让你的净值增长如虎添翼。打开方式不对，就看不到成效。本文旨在给出凯利公式的正确使用方法，让我们了解在有限的信息里，如何*能使得资本增值的速度最大化。

某日，社区用户陈小米找到了本小编，说她在网上看到一篇凯利公式的介绍，但整个方法看着有点不严谨。后来经过我们的讨论，其假设确实有点牵强。所以后来我们一合计，凯利公式被人提到很多，网上的文章也很多，但总有点隔靴搔痒的感觉，同时社区内的有些朋友对于凯利公式不甚清楚。于是决定一起写篇东西吧，介绍介绍。

如果不去证明，只看凯利公式本身，它有着非常简洁的形式。在小编的量化体系中，凯利公式是基础中的基础。虽然基础，但是却是很重要的一环，可以说是小编整个量化体系的根基之一。

但须知差之毫厘，谬之千里。有如天龙八部中的易筋经，打开方式不对，你就看不到武功秘籍。而正确的使用凯利公式，有一个正确的方法论，才能让你的净值增长如虎添翼。
那怎么做呢？请继续往下看。

一、凯利公式产生的背景

人物介绍什么的就不多说了，总之，就是有那么一个牛人，找到了连续赌博中的最佳*比例公式，横扫赌场。后来他又以此构建了一个对冲基金，战绩不俗。
这个人的大头像也不贴了，陈小米的帖子里面有。我们直接开始正文：

二、赌博怎么用凯利公式？

最早的凯利公式是运用在赌博游戏中的，我们先看看赌博情形下凯利公式的特殊形式：

f=pwin?b?plossbf=pwin?b?plossb

其中Pwin表示胜率，Ploss=1-Pwin，b表示赌赢了的赔率（扣除本金后的收益/本金）。f表示单次*占总资金的比例。
就是这个精巧简洁的公式，将信息论与赌博之间的本质联系揭露出来，告诉我们在有限了解的信息下，如何*能使得资本增值的速度最大化。

这个公式怎么来的，由于是普及向的文章，我们跳过了。各位就默认这个是对的就行：），真想深入，请看wiki链接：https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

一个简单的例子

假想一个赌博游戏。赢的概率是60%，输的概率40%。入场费随意交。如果赢了获得2倍的入场费金额（b=1），输则输掉入场费。小编有100元做本金，请问小编每次给多少入场费，若干次游戏后几何期望收益能最大？
答：f = （1×0.6-0.4）/1 = 0.2。
也就是说最佳的策略是每次投剩余本金的20%。
这块不难理解，带入公式就能算出来。

注意两点：

1.从概率的角度说，一个期望净收益为负的游戏是不值得参与的，凯利公式也完美的体现了这一点。还是上面的游戏，如果赢的概率40%，输的概率60%，那么，期望净收益就是（1×0.4-0.6）<0；求得的f为-0.2。
负数仓位意味着你有上中两策可以选。中策选择不*，上策是诱骗别人来跟你*。

2.赌博版凯利公式只有在稳赢（赢概率=100%）时才会支持押下全部本金，否则都是本金的一定比例。随着本金的减少，下的注也越来越少。如果没有交易费用，*可无限分割，我们是亏不完的（留得青山在，不怕没柴烧）。
下图能更直观的看到凯利公式对仓位的控制：如果押注的比例限制在0和1之间，对应不同的胜率（Pwin）和赔率（b）时，f会在三维空间上形成一个曲面。这个曲面与f=0对应的平面相交的那条黑线就是期望为0所形成的曲线。

接下来我们在股票操作中构建一个类似上述的赌博模型，然后引入凯利公式。

三、把股票模型转换为赌博模型

下图来自《财富公式：玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》，看看凯利的结果还不错嘛

股票的假设和赌博有点不一样。股票是一个连续的过程，未来某一个时刻的收益率不是固定的一个值，而是一个分布。

那么我们怎么做捏？
怎么做可以发挥各种想象力，我们提供一个思路。
首先，在西方那一套理论中，往往用随机游走来描述股价的波动：
                

怎么把模型转换成与赌博模型类似的呢？方法有很多，这里来一个简单粗暴的。设置一个止盈价格和止损线，碰到了就出局。如果取对数后的股价服从随机游走假设，并且初始点是上沿和下沿的正中间，按照理论，先碰到上沿和先碰到下沿的概率是一样的。（忽略漂移项）。
   

但是在实际情况中呢，股价不是所有的时候都服从这个随机游走模型。股价先碰到上沿的概率会高于先碰到下沿的概率。比如说，突然出一个利好，财报公布后超预期，降准降息啦，或者单纯的资金面涌入造成短时间多空失衡，等等。
我们管这些事件，或者与这些事件同时发生的一些现象称为信号。比如说，降息的事件本身，就是一个信号。利好之前可能会有人提前知道偷偷买，造成股价跌不下去，这个该跌不跌就是一个信号。资金的涌入造成成交量放大，这个成交量放大也是一个信号。

上图表示事件对股价形成了影响，整体概率分布向上偏移，先碰到止盈的概率大于先碰到止损的概率。

交易所做的事情，就是这么一个寻找信号的过程，找到有效信号，意味着信号背后的事件会使股价的概率分布偏离，赢的期望变大。同时我们设置止盈止损线，这样赔率也就固定了下来。
由此我们就把投资股票的过程转换成一个连续赌博的过程。信号发出就是我们入场点。止盈止损发生的时候，就是我们的出场点。赔率和损失率就是止盈止损与入场价格之差。一次入场和出场就相当于赌博模型中的单次赌博，单次赌博的仓位由凯利公式确定。

逻辑好通顺。

各位童鞋注意，这个信号嘛，是需要同学自己去找的（这就是你们要做的事情啊喂！找到有效的信号就可以赚钱了）。而一旦找到有效信号，由某种方法固化了胜率赔率，凯利公式就华丽登场了。

四、凯利公式登场以后呢？

前文的赌博公式中，赔一次会输掉押注的所有金额。而由于在股市中，我们不会一次性赔光本金，而是赔掉本金的一定比例。所以我们需要使用一般性的凯利公式：

f=pwinc?plossbf=pwinc?plossb

其中：
f：仓位比例
Pwin：赌赢的概率—股市上涨概率
Ploss：赌输的概率—股市下跌概率
b：赢钱率（资产从1增加到1 b）
c：损失率（资产从1减少到1-c）

假设我们找到了一个有效信号。并且根据历史上的统计，过去三年这个有效信号发生了1000次。以信号发出的价格为起点，在20%的正收益时止盈，在20%的负收益时止损。

那么在信号发出后，如果先触碰盈的次数570次，先触碰止损的次数430次（这里只是为了举例而做简化，实际中我们需要做更多的工作）。于是，我们就成功的把问题转换成了一个连续赌博的问题：有这么一种赌博，赢一次的赔率为20%，输一次的损失率为20%，赢率为57%

对应公式，有Pwin=0.57，Ploss=0.43，b=0.20，c=0.20
此时f=Pwin/c – Ploss/b = 0.57/0.20 – 0.43/0.20= 70%
也就是说，不管你现在剩余多少钱，应该买入剩余部分的70%的仓位。

接下来，我们用蒙特卡洛模拟的方法做一组测试，看看凯利公式是怎么发挥作用的。假设股票投机产生了T次信号。我们相应的按照上述参数随机生成胜率和赔率，做了T次投机。把这T次投机算成一组完整的投资过程，这样就会得到一个净值的序列。对于任意的T，我们将这个投资过程重复1000次，求净值的几何平数。
我们看看在不同的投机次数T下的效果：

T=100：

其中蓝线表示每次投机都是满仓；
绿线表示每次投机都是凯利公式给出的仓位（0.7）；
红线是接近凯利公式的仓位（0.6）；
还选了一个每次0.9的仓位，谁知道那个线的颜色是什么名字……

当T=100时，凯利公式仓位下净值增长最快，但是与其他仓位相比，优势不明显。

T=500：

此时，最接近凯利公式仓位的红线，尚能与凯利公式一战。其他仓位的净值已经与凯利公式拉开了距离。

T=1000：

各个仓位明显看到差距。凯利公式完胜！
说明如果想有效的应用凯利公式，你找到的信号不能太稀疏。否则的话随机的因素可能占据上风。但是随着你的交易次数增加，你的净值能否增长就是一个字：

大概率事件。
99.99%曰大概率。

接下来，还有些微小的工作：
加杠杆：
我们看看另外一种情况：现在你找到了一个信号，继续延续上文的方法，但止盈止损线都是2%。历史统计涨过2%的概率是0.7，跌破2%的概率是0.3。那么带入凯利公式，得到的f值是多少呢？
2000%，也就是20倍的押注。
这是什么鬼？！背后的实际意义是什么？
凯利公式在告诉你这个因子太好了，值得你作20倍的杠杆来操作么？如果是那样，我再贪心一点好不好，看下图，加到25倍显然就挫了。。。
                     

所以要理解，凯利公式判断押注比例的时候，是综合赢钱期望和输赢之间的差距（类似于方差的概念）进行的。如果说：
                                           

中，c=0，计算出来的f是无穷大。在现实中就意味着找到了一个项目，要么赚钱，要么持平，怎么都不会亏。理论上，我们能借多少就要借多少啊！

但理论是理论，实际是实际。前文中隐含的前提是借钱没有摩擦，没有费用，也没有利息的。而在现实中，借钱是有成本的。一般人也借不到这么高的杠杆。
即使凯利公式告诉你要使用高杠杆，我们也不建议加过高的杠杆。除了上述的财务摩擦之外，还有如下原因：

黑天鹅

由于篇幅有限，以后有机会写文章介绍一下长尾效应和黑天鹅。简而言之，我们股票上所有的概率赔率，都是基于历史数据的。而现实中，小概率事件的概率往往会被低估。

所以说，如果凯利公式告诉你，要压大仓位，可千万要三思。你要是不加思考傻乎乎的信了，出了一件在模型历史统计之外的事情，爆仓分分钟教你做人。
这么说有点抽象，打个比方，假设股灾前，你找了一个很好的信号，比如跌5%时大概率会反弹的这种。然后如上文所述，凯利公式给你的仓位比例是10倍。你压了两倍杠杆，还嫌少，又配资加到了5倍。

接下来发生了股灾，小概率事件一个接一个。第一天直接击破止损，还没等你反应过来，就跌停了卖不出去。第二天开盘跌停了，卖不出去；第三天开盘跌停了，卖不出去……

就问你怎么办。

永远记住：这个世界充满了因果性和蝴蝶效应。模型只是一个近似的替代。

真正的本金是什么？
有人说，凯利公式计算的仓位总是偏大。其原因嘛，除了上文中提到的，实际股票收益率的分布具有长尾因素，导致极端情况发生的次数比预计要多以外，还有一个原因是很多人没明白凯利公式的*比例所对应的本金到底是什么。

人们往往会认为凯利公式所针对*比例是全资产，但其实上并不是，凯利公式所针对的*比例是你可承受损失的资产。比如说，有一个私募，投入了1000w，但是有0.8的清仓线，其实只能承受200w的损失。那么在凯利公式里，f针对的本金其实只有200w，也就是说，如果f=0.7，你一次压上去的钱只有 200w*0.7=140w。

明白了没有？如果现在这个1000w亏的只剩 910w了，那么本金只有110w，一次*的钱只能是110w0.7=77w
而如果这个1000w赚到了1150w，那么本金就变成了（1150w-800w）0.7=350w，需要压的数量就是350w*0.7=245w。

所以说，如果一个人虽然有100%的仓位，但是实际心理能承受的损失就是20%，那么此时就应该用这个20%作为本钱来带入凯利公式。如果用100%的仓位带入，结果会让你很烦躁。

差点忘了，那个错误的例子：
开头提到了，我们在网上找到了一个错误的例子。
注：后面的回测为错误例子
剖析一下：
         

我们画了一张图来理解本文的假设：
          

上面那段话的暗含的条件是，如果一年内最高价H=2，一年内最低价L=1，不论当前你的价格在那里，未来价格先碰到H的概率和先碰到L的概率都相等。
即Pwin = Ploss = 0.5的情况下,如果当前价为1.3， 此时该保持的仓位 f = (0.5×0.54-0.5×0.23)/（0.54×0.23） = 124.80%。
按照上文逻辑，挑选中信证券（600030.SH）进行回测(如果仓位大于100%，则调整成100%)：
1.中信证券

哇塞，比一直持有更赚钱。
到这里，你以为你真的就可以一招吃遍天下，用凯利就可以躺着赚钱了吗？且慢，换一个标的试试。

2.嘉实沪深300ETF

纳尼？大师的一世英名岂不是要栽在这张回测图上了。说好的收益最大化呢？？是不是哪里出错了？？

问题出在哪？
问题出在假设中，文中假设任意的股票任意位置，先触碰最高价和先触碰最低价的概率都是0.5，这显然是不合理的强假设。因此可能一个股票刚好回测效果比较好，另外一个股票回测效果就比较差。

如果假设改进一下，比如先判断一下目前是不是一个震荡中枢里。如果在震荡中枢里，我们假设先碰到震荡下沿和上沿的概率相等，都是0.5。如果突破上沿，说明新的趋势形成，可以满仓追进去。如果跌破下沿，说明反向趋势形成，暂时避开。我觉得可能更合理一些。（这只是一个猜想，大家有兴趣可以验证）

哇。。。
好啦，少年。真正赚钱的是找有效的因子or信号，使得Pwin尽可能大，b尽可能大。而这个因子or信号的挖掘，就是作为矿工孜孜不倦追求的终极目标了。当你找到这样一个神奇的因子，你需要做的就是，用一种方法将其近似成连续的赌博模型。接下来，凯利公式就会给你指引一条正确的道路。

行动起来吧。加入宽客大军。

彩蛋：
评论区有朋友问，如果长期即碰不到上沿也碰不到下沿怎么办。其实这个问题就出在将股票模型转换为连续赌博模型的方法上，这就是该方法的缺陷所在。

如果各位仔细看，可以看出本篇文章中转换为赌博模型的方法，其实是加强了对赔率的控制，舍弃了对时间的控制。因为我们不知道何时才会触碰上下沿。

如果点赞转发数高，我再写一个固定时间，模糊赔率的股票投资至赌博模型转换方法。