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【数学课堂】线性代数系列 -- 同构映射

我们棒棒哒发表于:5 月 10 日 02:42回复(1)

导语

在线性空间中可以维持空间的线性特性的映射叫做线性映射,一个最简单的线性映射就是从一个线性空间 V 上的恒等映射 I,即对于所有 vV 都有 I(v)=v。恒等映射告诉我们它的定义域和陪域是相同的线性空间,这并没什么稀奇的,因为它的定义域和陪域都是 V。但是有没有两个空间本来不是一样的,但是有着同样的线性构造呢?

举一个简单的例子,考虑现线性空间 V=R2,以及 R3 的子空间

W={[xy0],x,yR}?R3.

这个子空间 WV 其实是一样的,只不过多了一个一致是 0 的坐标,相当于把一个二维的世界嵌入到一个三维世界中,这个二维世界的 z 坐标一律是零,从这个二维切片上来看,它就是一个平面世界,和 R2 一样,\textbf{同构}的概念让我们可以严格地描述这种性质。

同构

定义.VW 是两个 R 上的线性空间,并且设 f:VW 是一个线性映射。如果 f 是可逆的,并且 f?1:WV 也是一个线性映射,我们说 f 是一个线性空间的同构 (linear isomorphism),并且 VW同构的 (isomorphic),写作 V?W

同构就是说是“相同的结构”,比如上面的例子中的 V=R2W?R3,如果想验证 VW 是同构的,我们需要首先找到一个函数 f:VW 并且需要它满足

  1. f 是线性映射;
  2. f 是可逆的;
  3. f?1 也是线性映射。

考虑下面这个函数 f:VW

f([xy])=[xy0].

很明显 f 是线性的,因为
f(r?[x1y1] [x2y2])=[rx1 x2ry1 y20]=r?f([x1y1]) f([x2y2]).

并且,f 是可逆的,逆函数是
f?1([xy0])=[xy]

同样可以很轻松地验证 f?1 也是现行的。所以,VW 是同构的,它们的一个同构映射是 f

上面用到的同构映射是非常符合直觉的,因为从 VW 就是多了一个等于 0z 坐标嘛,所以把 xy 坐标延续下去就可以。但是我们要意识到,同构映射并不是唯一的,考虑下面这个函数

g:VW; g([xy])=[x y2x0]

这个函数是不是线性的呢?是的,因为
g(r?[x1y1] [x2y2])=g([rx1 x2ry1 y2])=[rx1 x2 ry1 y22rx1 2x2]=r?[x1 y12x1] [x2 y22x2]=r?g([x1y1]) g([x2y2]).

那它是不是可逆的呢?是的,它的逆映射是
g?1([xy0])=[y2x?y2],

同样,也不难验证 g?1 是一个线性映射,所以 g 也是一个同构映射。两个线性空间之间有两个不同的同构映射并不矛盾,实际上只要存在一个同构映射,就会同时存在无数个,我们之后也会介绍如何随意地生成同构映射。

逆函数的线性性质

在同构的定义中有三个要验证的性质,即 f 是线性的、f 是可逆的并且 f?1 是线性的,但实际上其中的一个性可以被省略,这样在我们验证同构关系时就减少了工作量。

定理.VW 是两个 R 上的线性空间,并且设 f:VW 是一个函数。如果 f 是线性映射并且 f 是可逆的,那么 f?1 也是一个线性映射。

证明.w1,w2WrR,有

f?1(w1 w2)=f?1(f(f?1(w1)) f(f?1(w2)))f(f?1(wi))=wi=f?1(f(f?1(w1) f?1(w2)))f 是线性的=f?1(w1) f?1(w2)f?1 和 f 抵消

同样的,
f?1(r?w1)=f?1(r?f(f?1(w1)))f(f?1(w1))=w1=f?1(f(r?f?1(w1)))f 是线性的=r?f?1(w1)f?1 和 f 抵消

所以,f?1 也是一个线性函数。 ?

所以,在检测线性空间同构的时候,只要看它是不是线性的并且是不是可逆的就行了。考虑下面两个 R3 的子空间

V={[xyx y], x,yR}?R3,

W={[x2xy], x,yR}?R3.

从这两个空间的描述上就能看出
h([xyx y])=[x2xy]

是一个符合直觉的函数,读者可以\textcolor{red}{作为练习}来验证 h 是一个线性映射并且是可逆的,从而判定 VW 是同构的。

反例

并不是所有线性空间相互之间都是同构的,如果是那样那同构的概念就没有意义了。我们考虑两个空间 R2R3,并证实它们不是同构的。为了反证,我们先假设 R2R3 是同构的,存在一个可逆的线性映射 f:R2R3,并且设

v1=[x1y1z1]=f([10]),

v2=[x2y2z2]=f([01]).

那么 Span({v1,v2})R3 的一个线性子空间,因为是由两个向量张成的,但是 R3 是三维空间,所以 Span({v1,v2})R3。取一个向量 wR3?Span({v1,v2}),用 f 的逆映射 f?1 得出某个
[ab]=f?1(w).

那么,
av1 bv2=af([10]) bf([01])=f(a[10] b[01])=f([ab])=f(f?1(w))=w

所以 wSpan({v1,v2}),这和 wR3?Span({v1,v2}) 是矛盾的,所以最初 R2?R3 的假设是不成立的,它们并不同构。

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