导语
在线性空间中可以维持空间的线性特性的映射叫做线性映射,一个最简单的线性映射就是从一个线性空间 V 上的恒等映射 I,即对于所有 v∈V 都有 I(v)=v。恒等映射告诉我们它的定义域和陪域是相同的线性空间,这并没什么稀奇的,因为它的定义域和陪域都是 V。但是有没有两个空间本来不是一样的,但是有着同样的线性构造呢?
举一个简单的例子,考虑现线性空间 V=R2,以及 R3 的子空间
W=????????xy0???,x,y∈R??????R3.
这个子空间
W 和
V 其实是一样的,只不过多了一个一致是
0 的坐标,相当于把一个二维的世界嵌入到一个三维世界中,这个二维世界的
z 坐标一律是零,从这个二维切片上来看,它就是一个平面世界,和
R2 一样,\textbf{同构}的概念让我们可以严格地描述这种性质。
同构
定义. 设 V 和 W 是两个 R 上的线性空间,并且设 f:V→W 是一个线性映射。如果 f 是可逆的,并且 f?1:W→V 也是一个线性映射,我们说 f 是一个线性空间的同构 (linear isomorphism),并且 V 和 W 是同构的 (isomorphic),写作 V?W。
同构就是说是“相同的结构”,比如上面的例子中的 V=R2 和 W?R3,如果想验证 V 和 W 是同构的,我们需要首先找到一个函数 f:V→W 并且需要它满足
- f 是线性映射;
- f 是可逆的;
- f?1 也是线性映射。
考虑下面这个函数 f:V→W
f([xy])=???xy0???.
很明显
f 是线性的,因为
f(r?[x1y1] [x2y2])=???rx1 x2ry1 y20???=r?f([x1y1]) f([x2y2]).
并且,
f 是可逆的,逆函数是
f?1??????xy0??????=[xy]
同样可以很轻松地验证
f?1 也是现行的。所以,
V 和
W 是同构的,它们的一个同构映射是
f。
上面用到的同构映射是非常符合直觉的,因为从 V 到 W 就是多了一个等于 0 的 z 坐标嘛,所以把 x 和 y 坐标延续下去就可以。但是我们要意识到,同构映射并不是唯一的,考虑下面这个函数
g:V→W; g([xy])=???x y2x0???
这个函数是不是线性的呢?是的,因为
g(r?[x1y1] [x2y2])=g([rx1 x2ry1 y2])=[rx1 x2 ry1 y22rx1 2x2]=r?[x1 y12x1] [x2 y22x2]=r?g([x1y1]) g([x2y2]).
那它是不是可逆的呢?是的,它的逆映射是
g?1??????xy0??????=???y2x?y2???,
同样,也不难验证
g?1 是一个线性映射,所以
g 也是一个同构映射。两个线性空间之间有两个不同的同构映射并不矛盾,实际上只要存在一个同构映射,就会同时存在无数个,我们之后也会介绍如何随意地生成同构映射。
逆函数的线性性质
在同构的定义中有三个要验证的性质,即 f 是线性的、f 是可逆的并且 f?1 是线性的,但实际上其中的一个性可以被省略,这样在我们验证同构关系时就减少了工作量。
定理. 设 V 和 W 是两个 R 上的线性空间,并且设 f:V→W 是一个函数。如果 f 是线性映射并且 f 是可逆的,那么 f?1 也是一个线性映射。
证明. 取 w1,w2∈W 和 r∈R,有
f?1(w1 w2)=f?1(f(f?1(w1)) f(f?1(w2)))=f?1(f(f?1(w1) f?1(w2)))=f?1(w1) f?1(w2)f(f?1(wi))=wif 是线性的f?1 和 f 抵消
同样的,
f?1(r?w1)=f?1(r?f(f?1(w1)))=f?1(f(r?f?1(w1)))=r?f?1(w1)f(f?1(w1))=w1f 是线性的f?1 和 f 抵消
所以,
f?1 也是一个线性函数。
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所以,在检测线性空间同构的时候,只要看它是不是线性的并且是不是可逆的就行了。考虑下面两个 R3 的子空间
V=????????xyx y???, x,y∈R??????R3,
W=????????x2xy???, x,y∈R??????R3.
从这两个空间的描述上就能看出
h??????xyx y??????=???x2xy???
是一个符合直觉的函数,读者可以\textcolor{red}{作为练习}来验证
h 是一个线性映射并且是可逆的,从而判定
V 和
W 是同构的。
反例
并不是所有线性空间相互之间都是同构的,如果是那样那同构的概念就没有意义了。我们考虑两个空间 R2 和 R3,并证实它们不是同构的。为了反证,我们先假设 R2 和 R3 是同构的,存在一个可逆的线性映射 f:R2→R3,并且设
v1=???x1y1z1???=f([10]),
v2=???x2y2z2???=f([01]).
那么
Span({v1,v2}) 是
R3 的一个线性子空间,因为是由两个向量张成的,但是
R3 是三维空间,所以
Span({v1,v2})≠R3。取一个向量
w∈R3?Span({v1,v2}),用
f 的逆映射
f?1 得出某个
[ab]=f?1(w).
那么,
av1 bv2=af([10]) bf([01])=f(a[10] b[01])=f([ab])=f(f?1(w))=w
所以
w∈Span({v1,v2}),这和
w∈R3?Span({v1,v2}) 是矛盾的,所以最初
R2?R3 的假设是不成立的,它们并不同构。