导语

在线性空间中可以维持空间的线性特性的映射叫做线性映射，一个最简单的线性映射就是从一个线性空间 $V$ 上的恒等映射 $I$，即对于所有 $v \in V$ 都有 $I(v) = v$。恒等映射告诉我们它的定义域和陪域是相同的线性空间，这并没什么稀奇的，因为它的定义域和陪域都是 $V$。但是有没有两个空间本来不是一样的，但是有着同样的线性构造呢？

举一个简单的例子，考虑现线性空间 $V = \mathbb R^2$，以及 $\mathbb R^3$ 的子空间

$$W = \left { \begin{bmatrix} x \ y \ 0 \end{bmatrix},\, x,y \in \mathbb R \right } \subseteq \mathbb R^3.$$
这个子空间 $W$ 和 $V$ 其实是一样的，只不过多了一个一致是 $0$ 的坐标，相当于把一个二维的世界嵌入到一个三维世界中，这个二维世界的 $z$ 坐标一律是零，从这个二维切片上来看，它就是一个平面世界，和 $\mathbb R^2$ 一样，\textbf{同构}的概念让我们可以严格地描述这种性质。

同构

定义. 设 $V$ 和 $W$ 是两个 $\mathbb R$ 上的线性空间，并且设 $f: V \to W$ 是一个线性映射。如果 $f$ 是可逆的，并且 $f^{-1} : W \to V$ 也是一个线性映射，我们说 $f$ 是一个线性空间的同构 (linear isomorphism)，并且 $V$ 和 $W$ 是同构的 (isomorphic)，写作 $V \cong W$。

同构就是说是“相同的结构”，比如上面的例子中的 $V = \mathbb R^2$ 和 $W \subseteq \mathbb R^3$，如果想验证 $V$ 和 $W$ 是同构的，我们需要首先找到一个函数 $f : V \to W$ 并且需要它满足

1. $f$ 是线性映射；
2. $f$ 是可逆的；
3. $f^{-1}$ 也是线性映射。

考虑下面这个函数 $f : V \to W$

$$f\left( \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} x \ y \ 0 \end{bmatrix}.$$
很明显 $f$ 是线性的，因为
$$f\left( r \cdot \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} rx_1 x_2 \ ry_1 y_2 \ 0 \end{bmatrix} = r\cdot f\left( \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \end{bmatrix}\right ) f\left(\begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \end{bmatrix} \right).$$
并且，$f$ 是可逆的，逆函数是
$$f^{-1} \left( \begin{bmatrix} x \ y \ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$
同样可以很轻松地验证 $f^{-1}$ 也是现行的。所以，$V$ 和 $W$ 是同构的，它们的一个同构映射是 $f$。

上面用到的同构映射是非常符合直觉的，因为从 $V$ 到 $W$ 就是多了一个等于 $0$ 的 $z$ 坐标嘛，所以把 $x$ 和 $y$ 坐标延续下去就可以。但是我们要意识到，同构映射并不是唯一的，考虑下面这个函数

$$\begin{align<em>}<br>g: V \to W ;\ g\left( \begin{bmatrix}x \ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} x y \ 2x \ 0 \end{bmatrix}<br>\end{align</em>}$$
这个函数是不是线性的呢？是的，因为
$$\begin{align<em>}<br>g\left( r \cdot \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \end{bmatrix} \right) &amp; = g \left( \begin{bmatrix} rx_1 x_2 \ ry_1 y_2 \end{bmatrix} \right) \<br>&amp; = \begin{bmatrix} rx_1 x_2 ry_1 y_2 \ 2rx_1 2x_2 \end{bmatrix}\<br>&amp; = r \cdot \begin{bmatrix} x_1 y_1 \ 2 x_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 y_2 \ 2x_2 \end{bmatrix} \<br>&amp; = r \cdot g \left( \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \end{bmatrix} \right) g \left( \begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \end{bmatrix} \right).<br>\end{align</em>}$$
那它是不是可逆的呢？是的，它的逆映射是
$$g^{-1}\left( \begin{bmatrix} x \ y \ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} \frac{y}{2}\ x-\frac{y}{2} \end{bmatrix},$$
同样，也不难验证 $g^{-1}$ 是一个线性映射，所以 $g$ 也是一个同构映射。两个线性空间之间有两个不同的同构映射并不矛盾，实际上只要存在一个同构映射，就会同时存在无数个，我们之后也会介绍如何随意地生成同构映射。

逆函数的线性性质

在同构的定义中有三个要验证的性质，即 $f$ 是线性的、$f$ 是可逆的并且 $f^{-1}$ 是线性的，但实际上其中的一个性可以被省略，这样在我们验证同构关系时就减少了工作量。

定理. 设 $V$ 和 $W$ 是两个 $\mathbb R$ 上的线性空间，并且设 $f:V \to W$ 是一个函数。如果 $f$ 是线性映射并且 $f$ 是可逆的，那么 $f^{-1}$ 也是一个线性映射。

证明. 取 $w_1 , w_2 \in W$ 和 $r \in \mathbb R$，有

$$\begin{align<em>}<br>f^{-1}(w_1 w_2) &amp; = f^{-1}(f (f^{-1} (w_1)) f(f^{-1}(w_2))) &amp; f(f^{-1} (w_i)) = w_i\<br>&amp; = f^{-1} (f(f^{-1}(w_1) f^{-1}(w_2))) &amp; f \text{ 是线性的}\<br>&amp; = f^{-1}(w_1) f^{-1} (w_2) &amp; f^{-1} \text{ 和 } f\text{ 抵消}<br>\end{align</em>}$$
同样的，
$$\begin{align<em>}<br>f^{-1}(r \cdot w_1) &amp; = f^{-1} (r \cdot f(f^{-1}(w_1))) &amp; f(f^{-1}(w_1)) = w_1\<br>&amp; = f^{-1} (f(r\cdot f^{-1}(w_1))) &amp; f\text{ 是线性的}\<br>&amp; = r \cdot f^{-1}(w_1) &amp; f^{-1} \text{ 和 } f \text{ 抵消}<br>\end{align</em>}$$
所以，$f^{-1}$ 也是一个线性函数。 $\square$

所以，在检测线性空间同构的时候，只要看它是不是线性的并且是不是可逆的就行了。考虑下面两个 $\mathbb R^3$ 的子空间

$$V = \left { \begin{bmatrix}x \ y \ x y \end{bmatrix} ,\ x,y \in \mathbb R\right } \subseteq \mathbb R^3,$$
$$W = \left { \begin{bmatrix}x \ 2x \ y \end{bmatrix} , \ x,y \in \mathbb R \right } \subseteq \mathbb R^3.$$
从这两个空间的描述上就能看出
$$h \left ( \begin{bmatrix} x\ y \ x y \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} x \ 2x \ y\end{bmatrix}$$
是一个符合直觉的函数，读者可以\textcolor{red}{作为练习}来验证 $h$ 是一个线性映射并且是可逆的，从而判定 $V$ 和 $W$ 是同构的。

反例

并不是所有线性空间相互之间都是同构的，如果是那样那同构的概念就没有意义了。我们考虑两个空间 $\mathbb R^2$ 和 $\mathbb R^3$，并证实它们不是同构的。为了反证，我们先假设 $\mathbb R^2$ 和 $\mathbb R^3$ 是同构的，存在一个可逆的线性映射 $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$，并且设

$$v_1= \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{bmatrix} = f\left ( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \right),$$
$$v_2 = \begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{bmatrix} = f \left( \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \right ).$$
那么 $\text{Span}({v_1, v_2})$ 是 $\mathbb R^3$ 的一个线性子空间，因为是由两个向量张成的，但是 $\mathbb R^3$ 是三维空间，所以 $\text{Span}({v_1, v_2 }) \ne \mathbb R^3$。取一个向量 $w \in \mathbb R^3 \setminus \text{Span}({v_1, v_2 })$，用 $f$ 的逆映射 $f^{-1}$ 得出某个
$$\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = f^{-1} (w).$$
那么，
$$\begin{align<em>}<br>av_1 bv_2 &amp; = a f\left ( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \right) b f \left( \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \right )\<br>&amp; = f\left( a\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \right)\<br>&amp; = f\left( \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} \right)\<br>&amp; = f(f^{-1}(w))\<br>&amp; = w<br>\end{align</em>}$$
所以 $w \in \text{Span}({ v_1, v_2 })$，这和 $w \in \mathbb R^3 \setminus \text{Span}({v_1, v_2 })$ 是矛盾的，所以最初 $\mathbb R^2 \cong \mathbb R^3$ 的假设是不成立的，它们并不同构。