导语：本文旨在直观地为大家介绍协整的概念，帮助大家理解其基本含义，这个概念提出的动机，以及简单的应用场景。
阅读前需要了解：
基本的统计概念，理解深度level-0
平稳的概念，理解深度level-0
这里只是想给大家指出协整的直观定义，并没有涉及严格的数学符号的定义及严密的公式推导。
一、平稳/协整
提到协整，就不得不提平稳性。
简单地说，平稳性（stationarity）是一个序列在时间推移中保持稳定不变的性质，它是我们在进行数据的分析预测时非常喜欢的一个性质。如果一组时间序列数据是平稳的，那就意味着它的均值和方差保持不变，这样我们可以方便地在序列上使用一些统计技术。我们先看一个例子，了解平稳和非平稳序列直观上长什么样。
图片来源：维基百科
上图中，靠上的序列是一个平稳的序列，我们能看到它始终是围绕着一个长期均值在波动，靠下的序列是一个非平稳序列，我们能看到它的长期均值是变动的。
举一个应用的例子，如果某个资产的价格序列（或者两个序列的价差）是平稳的，那么当它在偏离了其均值后，人们可以期待价格会在未来的某一个时间回归这个均值。我们可以借助这个性质进行投资从而获利。假设一只股票的长期均值是9元，而现在的价值是8元。如果经过检验，我们认为这个股票的历史序列具有平稳的性质，并且假设这个平稳性是能保持的，就可以买入这只股票，等待未来它的价格回归9元，从而获得1元的利润。
这就是一个具有平稳性质的股票价格序列：
平稳性是很好用，但在现实中，绝大多数的股票都是非平稳的，那么我们是否还能够利用平稳性质进行获利呢？答案是肯定的，这时协整关系（cointegration）就出场了！如果两组序列是非平稳的，但它们的线性组合可以得到一个平稳序列，那么我们就说这两组时间序列数据具有协整的性质，我们同样可以把统计性质用到这个组合的序列上来。但是需要指出的一点，协整关系并不是相关关系（correlation）。
举个例子，两组时间序列数据的差是平稳的，则我们可以根据这个差的平稳性进行投资获利：当两只股票的价差过大，根据平稳性我们预期价差会收敛，因此买入低价的股票，卖空高价的股票，等待价格回归的时候进行反向操作从而获利。
这就是配对交易（pairs trading）的由来。是不是很清晰。
二、平稳性和检验方法
严格地说，平稳性可以分为严平稳（strictly stationary）和弱平稳（或叫协方差平稳，covariance stationary等）两种。严平稳是指一个序列始终具有不变的分布函数，而弱平稳则是指具序列有不变的常量的描述性统计量。严平稳和弱平稳性质互不包含；但如果一个严平稳序列的方差是有限的，那么它是弱平稳的。我们一般所说的平稳都是指弱平稳。在时间序列分析中，我们通常通过单位根检验（unit root test）来判断一个过程是否是弱平稳的。
一个常见的单位根检验方法是Dickey-Fuller test，大致思路如下：假设被检测的时间序列YtYt
Y<em>t
Y
t满足自回归模型Yt=αYt?1 εtYt=αYt?1 εtYt=αY</em>t?1 εt
Y_t= \alpha Y{t-1} \varepsilon_t
，其中ααα
\alpha
为回归系数，εtεtεt
\varepsilon_t
为噪声的随机变量。若经过检验，发现α<1α<1\alpha< 1
\alpha< 1
，则可以肯定序列是平稳的。在Dickey Fuller Test的基础上，还有衍生出来的augmented Dickey-Fuller test，是考虑了序列的滞后性，在此不做过多陈述，在未来量化课堂的数学专栏里将会介绍。
三、举个应用的例子
我们人为地构造两组数据，由此直观地看一下协整关系。
import numpy as npimport pandas as pdimport seabornimport statsmodelsimport matplotlib.pyplot as pltfrom statsmodels.tsa.stattools import coint
构造数据
首先，我们构造两组数据，每组数据长度为100。第一组数据为100加一个向下趋势项再加一个标准正态分布。第二组数据在第一组数据的基础上加30，再加一个额外的标准正态分布。有：
Xt=100 γt εtXt=100 γt εt
<br>Xt=100 γt εt<br>
X_t=100 \gamma_t \varepsilon_t
Yt=Xt 30 μtYt=Xt 30 μt
<br>Yt=Xt 30 μt<br>
Y_t=X_t 30 \mu_t
其中γtγt
γt
\gamma_t
为趋势项，εtεtεt
\varepsilon_t
和μtμtμt
\mu_t
为无相关性的正态随机变量。
代码如下：
np.random.seed(100)
x = np.random.normal(0, 1, 500)
y = np.random.normal(0, 1, 500)
X = pd.Series(cumsum(x)) 100
Y = X y 30
for i in range(500):
X[i] = X[i] - i/10
Y[i] = Y[i] - i/10
plot(X); plot(Y);
plt.xlabel("Time"); plt.ylabel("Price");
plt.legend(["X", "Y"]);
显然，这两组数据都是非平稳的，因为均值随着时间的变化而变化。但这两组数据是具有协整关系的，因为他们的差序列Yt?XtYt?Xt
Yt?Xt
Y_t-X_t
是平稳的：
plot(Y-X);plt.axhline((Y-X).mean(), color="red", linestyle="");plt.xlabel("Time"); plt.ylabel("Price");plt.legend(["Y-X", "Mean"]);
上图中，可以看出蓝线Yt?XtYt?Xt
Yt?Xt
Y_t-X_t
一直围绕均值波动。而均值不随时间变化（其实方差也不随时间变化）。
小结：如果完全从数学的角度讲清楚协整，会比较复杂，日后的量化课堂会有涉及。我们只是在了解（level-0）的层面上做了一个简单介绍，目的还是让大家更好的将协整与实际应用结合起来。
注：文末有可运行的代码块，大家可以在joinquant*研究，运行程序。
更多深入研究，请参见后面的应用类文章。
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文章更迭记录：
v1.1，2016-10-13，修正概念性错误，感谢 zhangyi 指出
v1.0，2016-07-05，文章上线
import numpy as npimport pandas as pdimport seabornimport statsmodelsimport matplotlib.pyplot as pltfrom statsmodels.tsa.stattools import coint
np.random.seed(100)x = np.random.normal(0, 1, 500)y = np.random.normal(0, 1, 500)X = pd.Series(cumsum(x)) + 100Y = X + y + 30for i in range(500):X[i] = X[i] - i/10Y[i] = Y[i] - i/10plot(X); plot(Y);plt.xlabel("Time"); plt.ylabel("Price");plt.legend(["X", "Y"]);plot(Y-X);plt.axhline((Y-X).mean(), color="red", linestyle="");plt.xlabel("Time"); plt.ylabel("Price");plt.legend(["Y-X", "Mean"]);
