导语：  CAPM模型认为，收益风险同源。市场风险是唯一能给股票带来超额收益的风险。但是事实上除了市场风险外，Fama-French认为市场上还存在还有市值风险，账面市值比风险等，据此建立的模型被称为“Fama-French三因子模型”。本文旨在深入浅出介绍三因子模型的思想并提供一个选股应用。

阅读前需要了解：
线性回归模型，理解深度：level 0
CAPM模型，理解深度：level 0

Fama-French三因子模型概述

看到CAPM模型，大家有没有想过，为什么有的股票有正的超额收益，有的股票的超额收益却是负的？是不是市场风险不能够完全解释个股的超额收益？

是的。

Fama和French这两个人研究股票超额收益率的时候发现了一个神奇的现象：有两类股票的历史平均收益率一般会高于CAPM模型所预测的收益率。它们是小公司股票、以及具有较高股权账面-市值比的股票。Fama和French认为：1）市值比较小的公司通常规模比较小，公司相对而言没那么稳定，因此风险较大，需要获得更高的收益来补偿；2）账面市值比就是账面的所有者权益除以市值（下以简称B/M）。B/M较高则说明市场上对公司的估值比公司自己的估值更低。这些公司一般都是销售状况或者盈利能力不是十分好的公司，因此相对于低B/M的公司来说需要更高的收益来补偿。

这个三因子模型的本质就是把CAPM中的α（未被解释的超额收益）*掉，将其*成市值因素、B/M因素和其他未被解释的因素（可以看成是新的α），可以用如下公式表达：

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εiRi=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

其中Ri=E(ri?rf)Ri=E(ri?rf)

Ri=E(ri?rf)

R_i=E(r_i-r_f)

，指股票i比起无风险投资的期望超额收益率。RM=E(rM?rf)RM=E(rM?rf)

RM=E(rM?rf)

R_M=E(r_M-r_f)

，为市场相对无风险投资的期望超额收益率，E(SMB)是小市值公司相对大市值公司股票的期望超额收益率，E(HML)则是高B/M公司股票比起低B/M的公司股票的期望超额收益率，而 εiεi

εi

ε_i

是回归残差项。

对三因子模型的理解

上面这个三因子模型和CAPM模型在表达式上面的区别就是多了几个回归的自变量。因此，
打眼一看，不少的读者（包括小编第一次接触的时候）可能会觉得这个模型只是为传统多因子模型提供了两个因子（市值、B/M）而已，然后用传统的因子打分、回归等方法进行选股。

小编只想说，然而并不是这样。

上面这种理解也可以用来建模，但它并不是本来Fama和French想表达的！那么他们究竟想说什么呢？我们再仔细看一下三因子模型的表达式：

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εiRi=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

RiRi

Ri

R_i

和RMRM

RM

R_M

是什么，前文刚介绍过。但这个E(SMB)怎么理解呢？Fama把市场里面的所有股票按市值排序，然后等分成三份：第一份是大市值股票（市值在所有股票中最大的1/3），第二份是中市值股票，第三份是小市值股票（市值在所有股票中最小的1/3）。记大市值股票的平均期望收益率为E(rS)E(rS)

E(rS)

E(r_S)

，小市值股票的期望收益率为E(rB)E(rB)

E(rB)

E(r_B)

。那么E(SMB)=E(rS)?E(rB)E(SMB)=E(rS)?E(rB)

E(SMB)=E(rS)?E(rB)

E(SMB)=E(r_S )-E(r_B)

。E(HML)的定义也类似。

小编认为，三因子模型的贡献，在于发现了股票的期望收益不仅仅与市场的系统风险有关，还和市值风险和账面市值比风险有关。市值和B/M这一类因子是对市场整体进行一个衡量的，而不是对个股的衡量。

对于市场的衡量，我们也可以用多元线性回归的方法来估计。三因子模型的表达式中ai,bi,si,hiai,bi,si,hi

ai,bi,si,hi

都是回归系数，bibi$b_i$bi

描述的是股票本身的市场方面风险的大小，sisi$s_i$si

描述的是股票本身的市值方面风险的大小，hihi$h_i$hi

描述的是股票本身的账面市值比方面风险的大小。
$$

FF三因子模型套利法选股

举一个具体应用的例子：
我们再看一眼三因子模型的表达式（是最后一眼了，各位别烦躁）：

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εiRi=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

Ri=ai biRM siE(SMB) hiE(HML) εi

如果默认三因子模型是正确的，而且市场风险、市值风险、账面市值比这三类风险能很好地解释个股的超额收益，aiai

ai

a_i

的长期均值应该是0。那么，如果对于某个时期的股票，回归得到ai<0ai<0

ai<0

a_i<0

，说明这段时间里面收益率偏低（因此股价也偏低），而根据有效市场假设，出来混总是要还的，今天的偏离在未来要涨回来的。

所以我们的选股思路非常简单：

1. 先设定一个调仓频率，每T=10天调仓一次

2. 设定一个样本长度S=63天。

3. 然后在调仓日对于过去S天的数据进行回归分析，计算出每个股票在过去的S天里面αα

   $\alpha$α

   \alpha

   观测值，

4. 然后买入αα

   $\alpha$α

   \alpha

   最小的N（N=10）支股票即可。

以上参数皆可调整。2006年至今的收益率高达1484%，不仅跑赢了大盘，还跑赢了不少转化为多因子模型的方法的选股策略。下图表示这个策略的收益情况（股票池就是沪深300本身）：

这个策略的Alpha高达18.4%，而且beta非常接近1，因此可以使用沪深300指数来对冲市场风险从而获得超额收益，下图表示这个策略的净值和沪深300组合的净值的比值：

从这个图中我们可以看出，虽然在熊市的时候回撤较大，但是如果用适合仓位的沪深300股指期货进行对冲的话，收益还是比较稳定的，因此说明了这个策略还是非常有效的。
好啦，本篇到此为止，欢迎关注后续文章！